Question

如圖1-1-5，已知A、B、C是直線m上的三點，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線m于點A，又過B、C作⊙O′異于m的兩切線，切點分別為D、E，設兩切線交于點P.

圖1-1-5

（1）求點P的軌跡方程;

（2）經過點C的直線l與點P的軌跡交于M、N兩點，且點C分所成比等于2∶3，求直線l的方程.

Answer 1

思路分析：先根據圓切線的定義,可得到點P的軌跡是橢圓,然后建立適當的坐標系求出點P的軌跡方程；根據定比分點坐標公式,找出相關點的坐標,列出方程組求點M、N的坐標,從而求出直線方程.

解：（1）∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,

∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|.

∴P點軌跡是以B、C為焦點,長軸長等于18的橢圓.

以B、C兩點所在直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,則可設橢圓的方程是=1(a＞b＞0).

∵a=9,c=3,∴b²=72.

∴P點的軌跡方程是=1(y≠0).

（2）設M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),

∵C(3,0)分MN所成的比為,

∴∴=1.

∴①

又=1,②

由①②消去y₂,得=1.

解得x₂=-3,y₂=±8,即N(-3,±8).

∴由C、N可得直線的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.