Question

（2013•石景山區(qū)一模）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為

1

2

，左焦點(diǎn)F₁到直線l：x-

3

y-3=0的距離等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過右焦點(diǎn)F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中垂線與x軸相交于點(diǎn)P（m，O），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由離心率為

1

2

得

c

a

=

1

2

，所以F₁（-

1

2

a，0），由F₁到直線l的距離為a，所以

|- 1 2 a-3|

2

=a解得a，從而得c，由b²=a²-c²得b；
（II）由（I）知F₂（1，0），設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程，易知恒有△＞0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得MN中點(diǎn)的坐標(biāo)，分情況討論：當(dāng)k=0時(shí)易求m值；當(dāng)k≠0時(shí)寫出MN中垂線方程，令y=0得m，變形后用基本函數(shù)的范圍即可求得m的范圍，綜合兩種情況即可求得m的取值范圍；

解答：解：（I）由已知

c

a

=

1

2

，可得F₁（-

1

2

a，0），
由F₁到直線l的距離為a，所以

|- 1 2 a-3|

2

=a，
解得a=2，所以c=1，b²=a²-c²=3，得b=

3

，
所以所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）由（I）知F₂（1，0），設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
因?yàn)閘過點(diǎn)F₂，所以△＞0恒成立，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-6k

3+4k2

，
所以MN中點(diǎn)（

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

），
當(dāng)k=0時(shí)，MN為長(zhǎng)軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，則m=0，
當(dāng)k≠0時(shí)MN中垂線方程為y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)，
令y=0，得m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
因?yàn)?span id="dtlzzfj" class="MathJye">

3

k2

＞0，所以

1

k2

+4＞4，可得0＜m＜

1

4

，
綜上可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查分析解決問題的能力，解決該類題目常用的知識(shí)為韋達(dá)定理、判別式等，應(yīng)熟練掌握．