Question

6．已知向量$\vec a$=（cos（-x+$\frac{π}{3}$），1），$\vec b$=（3，-2），f（x）=$\vec a$•$\vec b$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$得到函數(shù)g（x）的圖象，試求函數(shù)y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}}$]的值域．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積化簡(jiǎn)表達(dá)式，通過(guò)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可．
（2）利用三角函數(shù)的平移變換推出函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的值域即可．

解答 解：（1）$f（x）=\vec a•\vec b$=$3cos（-x+\frac{π}{3}）-2=3cos（x-\frac{π}{3}）-2$，
令$2kπ≤x-\frac{π}{3}≤π+2kπ，k∈Z$得$2kπ+\frac{π}{3}≤x≤\frac{4π}{3}+2kπ，k∈Z$
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[2kπ+\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}+2kπ]，k∈Z$．…（6分）
（2）由題意知$g（x）=3cos（2x-\frac{π}{3}）-2$，$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$cos（2x-\frac{π}{3}）∈[{-\frac{1}{3}，1}]$
∴$g（x）=3cos（2x-\frac{π}{3}）-2∈[{-\frac{7}{2}，1}]$，
∴函數(shù)y=g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$的值域?yàn)?[{-\frac{7}{2}，1}]$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的求法，考查計(jì)算能力．