Question

1．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≤x\\ 2x+y-9≤0\end{array}\right.$，這z=$\frac{1}{3}$x-y的最小值是-2，$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)求得z=$\frac{1}{3}$x-y的最小值；然后利用$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點（（1，0）除外）（x，y）與定點（1，0）橫坐標的差除以與定點（1，0）的距離，對x分類求得$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$的取值范圍，取并集得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≤x\\ 2x+y-9≤0\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-9=0}\end{array}\right.$，解得A（3，3），
化目標函數(shù)z=$\frac{1}{3}$x-y為y=$\frac{x}{3}-z$，
由圖可知，當直線y=$\frac{x}{3}-z$過A（3，3）時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為$\frac{3}{2}-3=-2$；
$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動點（（1，0）除外）（x，y）與定點（1，0）橫坐標的差除以與定點（1，0）的距離，
當x＞1時，0＜$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$≤1；
當x=1（y≠0）時，$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$=0；
當0≤x＜1時，-1≤$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$＜0．
∴$\frac{x-1}{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}$的取值范圍是[-1，1]．
故答案為：-2，[-1，1]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．