【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣ax2+bx+c(a,b,c∈R).

(1)若函數(shù)f(x)在x=﹣1和x=3處取得極值,試求a,b的值;

(2)在(1)的條件下,當x∈[﹣2,6]時,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范圍.

【答案】(1); (2)(-∞,-18)∪(54,+∞).

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)的極值的概念得到方程組解出參數(shù)值即可;(2)對函數(shù)求導得到函數(shù)的單調性和極值,進而得到函數(shù)的最大值為c+54,要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可.

(1)f′(x)=3x2-2ax+b,

∵函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,

∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的兩根.

.

經(jīng)檢驗滿足題意.

(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,

f′(x)=3x2-6x-9.令f′(x)=0,得x=-1或x=3.

當x變化時,f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表:

而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,

∴當x∈[-2,6]時,f(x)的最大值為c+54,

要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可,

當c≥0時,c+54<2c,∴c>54 ,

當c<0時,c+54<-2c,∴c<-18.

∴c∈(-∞,-18)∪(54,+∞),此即為實數(shù)c的取值范圍.

練習冊系列答案
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Ⅰ)求橢圓的方程;

Ⅱ)是否存在定點使得為定值?若存在,求出點坐標并求出此定值;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ);,.

【解析】試題分析:(1)當軸重合時,垂直于軸,得,,從而得橢圓的方程;(2)由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,所以把坐標化,可得點的軌跡是橢圓,從而求得定點和點.

試題解析:軸重合時,, ,所以垂直于軸,得,, ,橢圓的方程為.

焦點坐標分別為, 當直線斜率不存在時,點坐標為;

當直線斜率存在時,設斜率分別為, , 得:

, 所以:, 則:

. 同理:, 因為

, 所以, , 由題意知, 所以

, 設,則,即,由當直線斜率不存在時,點坐標為也滿足此方程,所以點在橢圓.存在點和點,使得為定值,定值為.

考點:圓錐曲線的定義,性質,方程.

【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應用進行考查,第一問通過兩個特殊位置,得到基本量,得,,從而得橢圓的方程,第二問由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,本題的關鍵是從這個角度出發(fā),把坐標化,求得點的軌跡方程是橢圓,從而求得存在兩定點和點.

型】解答
束】
21

【題目】已知.

(Ⅰ)若,求的極值;

(Ⅱ)若函數(shù)的兩個零點為,記,證明:

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1)當a0時,設gx)=fx)﹣x,求函數(shù)gx)在[,]上的最值;

2)當x1時,證明:fx+x2λx1+2

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