Question

【題目】在數(shù)列中，.

（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？并說明理由；

（2）若對任意正整數(shù)，恒成立，求首項的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）

【解析】

（1）轉化條件得，由等比數(shù)列的概念即可得解；

（2）易得當時，符合條件；當時，，根據(jù)為奇數(shù)、為偶數(shù)分類討論，由恒成立問題的解決辦法即可得解.

（1）因為，所以，

所以，

所以，

所以當即時，，

所以當時，數(shù)列不是等比數(shù)列；

當，即時，，所以，

所以當時，數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）知，當時，，所以恒成立；

當時，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，

所以，

即.

當為奇數(shù)時，，所以.

又單調遞減，所以時，取得最大值，所以；

當為偶數(shù)時，，所以.

又單調遞增，所以當時，的最小值為2，所以，

所以；

綜上，首項的取值范圍為.