【題目】函數(shù) (為實數(shù)).
(1)若,求證:函數(shù)在上是增函數(shù);
(2)求函數(shù)在上的最小值及相應的的值;
(3)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)在上是增函數(shù);(2)見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)當時, 在(0,+∞)上恒成立,故函數(shù)在(1,+∞)上是增函數(shù);
(2)求導) ,當x∈[1,e]時, .分①,②,③,三種情況得到函數(shù)f(x)在[1,e]上是單調性,進而得到[f(x)]min;
(3)由題意可化簡得到,令,利用導數(shù)判斷其單調性求出最小值為.
試題解析:
(1)當時, ,其定義域為,
,
當時, 恒成立,
故函數(shù)在上是增函數(shù).
(2) ,
當時, ,
①若, 在上有 (僅當, 時, ),
故函數(shù)在上是增函數(shù),此時;
②若,由,得,
當時,有,此時在區(qū)間上是減函數(shù);
當時,有,此時, 在區(qū)間上是增函數(shù),
故;
③若, 在上有 (僅當, 時, ),
故函數(shù)在上是減函數(shù),此時
綜上可知,當時, 的最小值為1,相應的的值為1;
當時, 的最小值為,相應的值為;
當時, 的最小值為,相應的的值為.
(3)不等式可化為,
因為,所以,且等號不能同時取,
所以,即,
所以,
令,
則,
當時, , ,
從而 (僅當時取等號),
所以在上為增函數(shù),所以的最小值為,
所以實數(shù)的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某品牌手機銷售商今年1,2,3月份的銷售量分別是1萬部,1.2萬部,1.3萬部,為估計以后每個月的銷售量,以這三個月的銷售為依據(jù),用一個函數(shù)模擬該品牌手機的銷售量y(單位:萬部)與月份x之間的關系,現(xiàn)從二次函數(shù) 或函數(shù) 中選用一個效果好的函數(shù)行模擬,如果4月份的銷售量為1.37萬件,則5月份的銷售量為__________萬件.
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【題目】設某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為, 只與道路暢通狀況有關,對其容量為的樣本進行統(tǒng)計,結果如圖:
(分鐘) | 25 | 30 | 35 | 40 |
頻數(shù)(次) | 20 | 30 | 40 | 10 |
(1)求的分布列與數(shù)學期望;
(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座,結束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率.
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【題目】已知直線與橢圓相交于兩點,與軸, 軸分別相交于點和點,且,點是點關于軸的對稱點, 的延長線交橢圓于點,過點分別做軸的垂線,垂足分別為.
(1) 若橢圓的左、右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點,點在橢圓上,求橢圓的方程;
(2)當時,若點平分線段,求橢圓的離心率.
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【題目】如圖,我海監(jiān)船在島海域例行維權巡航,某時刻航行至處,此時測得其東北方向與它相距海里的處有一外國船只,且島位于海監(jiān)船正東海里處.
(1)求此時該外國船只與島的距離;
(2)觀測中發(fā)現(xiàn),此外國船只正以每小時海里的速度沿正南方向航行,為了將該船攔截在離島海里處,不讓其進入島海里內(nèi)的海域,試確定海監(jiān)船的航向,并求其速度的最小值.(參考數(shù)據(jù):,)
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)當,時,證明:(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
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【題目】設命題是的必要而不充分條件;
設命題實數(shù)滿足方程表示雙曲線.
(1)若“”為真命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若“”為假命題,“”為真命題,求實數(shù)的取值范圍.
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