Question

數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均不為0，前n項(xiàng)和為S_n，b_n=a_n³，b_n的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且T_n=S_n²
（1）若數(shù)列{a_n}共3項(xiàng)，求所有滿(mǎn)足要求的數(shù)列；
（2）求證：a_n=n（n∈N^*）是滿(mǎn)足已知條件的一個(gè)數(shù)列；
（3）請(qǐng)構(gòu)造出一個(gè)滿(mǎn)足已知條件的無(wú)窮數(shù)列{a_n}，并使得a₂₀₁₅=-2014；若還能構(gòu)造其他符合要求的數(shù)列，請(qǐng)一并寫(xiě)出（不超過(guò)四個(gè)）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：壓軸題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）依題意，分n=1、2、3，三類(lèi)討論，可得所有滿(mǎn)足要求的數(shù)列；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（3）由Sn2=a13+a23+…+an3①，Sn+12=a13+a23+…+an3+an+13②，聯(lián)立①②，可整理得到：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，于是，可求得一個(gè)滿(mǎn)足已知條件的無(wú)窮數(shù)列{a_n}，并使得a₂₀₁₅=-2014；再購(gòu)造其他符合要求的數(shù)列四個(gè)即可．

解答： （本題（18分），第一小題（4分），第二小題（6分），第三小題8分）
解：（1）n=1時(shí)，T₁=S₁²⇒a₁³=a₁²⇒a₁=1（a₁=0舍去）…（1分）
n=2時(shí)，T₂=S₂²⇒a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²⇒1+a₂³=（1+a₂）²⇒a₂=2或a₂=-1（a₂=0舍去）…（2分）
n=3時(shí)，T3=

S

2 3

⇒

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

=(a1+a2+a3)2，
當(dāng)a₂=2時(shí)，1+8+

a

3 3

=(1+2+a3)2⇒a₃=3或a₃=-2（a₃=0舍去）
當(dāng)a₂=-1時(shí)，1-1+

a

3 3

=(1-1+a3)2⇒a3=1(a3=0舍去)…（3分）
所以符合要求的數(shù)列有：1，2，3；1，2，-2；1，-1，1…（4分）
（2）∵a_n=n，即證1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，…（5分）
用數(shù)學(xué)歸納法證：
當(dāng)n=1時(shí)，1³=1²，等式成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，1³+2³+3³+…+k³=（1+2+3+…+k）²=[

k(k+1)

2

]2，…（7分）

則當(dāng)n=k+1時(shí)，1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³=（1+2+3+…+k）²+（k+1）³
=[

k(k+1)

2

]2+（k+1）³=（

k+1

2

）²（k²+4k+4）
=[

(k+1)(k+2)

2

]2=[

(k+1)((k+1)+1)

2

]2，即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立；
綜上所述，對(duì)任意n∈N^*，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²；…（10分）
（3）Sn2=a13+a23+…+an3①
Sn+12=a13+a23+…+an3+an+13②
②-①得：2S_n+a_n+1=an+12，
∴2S_n=an+12-a_n+1；③…（11分）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=an2-a_n，④…（12分）
③-④得：2a_n=an+12-a_n+1-an2+a_n，
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∴a_n+1=-a_n，或a_n+1=a_n+1（n≥2）…（14分）
（i）a_n=

n(n≤2014，n∈N*) 2014•(-1)n(n≥2015，n∈N*)

；
（ii）a_n=

n(n≤2014，n∈N*) n-4029(2015≤n≤4028，n∈N*) n-4028(n≥4029，n∈N*)

；
（iii）a_n=

n(n≤2014，n∈N*) -2014(n=2015，n∈N*) n-2(n≥2016，n∈N*)

；
（v）a_n=

n(n≤2014，n∈N*) -2014(n=2015，n∈N*) 2014(n=2016) -2014(n=2017) n-4(n≥2018，n∈N*)

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，突出考查構(gòu)造函數(shù)數(shù)學(xué)、化歸思想及創(chuàng)新思維、邏輯思維、綜合運(yùn)算能力，屬于難題．