Question

在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD=90°，SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=2，tan∠SDA=

1

2

，E為SD的中點．
（Ⅰ）求證：CE∥平面SAB；
（Ⅱ）求三棱錐D-AEC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取SA中點F，連接EF，BF，CE，得出EF=

1

3

AD=2，EF∥AD，AD∥BC，判斷四邊形EFBC為平行四邊形，即可得出BF∥CE，
運用直線平面的平行的平判定定理BF∥CE，BF?平面SAB；CE?平面SAB可證明．
（Ⅱ）V_D-AEC=V_E-ACD，很容易求解：E到面ACD的距離為

1

2

×2=1，S_△ACD=

1

2

×4×2，運用體積公式求解即可．

解答： （Ⅰ）證明：∵SA⊥底面ABCD，
∴Rt△SDC中，tan∠SAD，tan∠SDA=

SA

AD

=

1

2

，
取SA中點F，連接EF，BF，CE，
∵SA=AB=BC=2，
∴AD=4，
EF=

1

3

AD=2，EF∥AD，
∵AD∥BC，
∴EF=BC，EF∥CB，
∴四邊形EFBC為平行四邊形，
∴BF∥CE，
∵BF?平面SAB；CE?平面SAB；
∴CE∥平面SAB；

（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD，E為SD的中點．
∴E到面ACD的距離為

1

2

×2=1，
S_△ACD=

1

2

×4×2
V_D-AEC=V_E-ACD=

1

3

×

1

2

×4×2×1=

4

3

，

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查了直線平面的夾角，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．