Question

【題目】函數(shù)，且恒成立.

（1）求實(shí)數(shù)的集合；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷圖象與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.

（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1）；（2）2個(gè)，證明見解析

【解析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看是否有最小值；

（2）將圖像與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（1）的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，

1°當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，時(shí)，使得，與條件矛盾；

2°當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，

若；

若；而時(shí)，，要使恒成立，

故.

（2）原問題轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根個(gè)數(shù)問題，

當(dāng)時(shí)，圖象與圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，理由如下：

由，即，令，

因?yàn)?/span>，所以是的一根；，

1°當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，，即在上無實(shí)根；

2°當(dāng)時(shí)，，

則在上單調(diào)遞遞增，又，

所以在上有唯一實(shí)根，且滿足，

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在上無實(shí)根；

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

，故在上有唯一實(shí)根.

3°當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，

所以，

故，所以在上無實(shí)根.

綜合1°，2°，3°，故有兩個(gè)實(shí)根，即圖象與圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn).