Question

（2013•西城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=sinx-acosx的一個零點是

π

4

．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設g(x)=f(x)•f(-x)+2

3

sinxcosx，求g（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意根據函數(shù)的零點的定義可得f(

π

4

)=0，由此求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx-cosx，利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)g（x）的解析式為 2sin(2x+

π

6

)，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得x的范圍，即可求得 g（x）的單調遞增區(qū)間．

解答：（Ⅰ）解：依題意，得f(

π

4

)=0，即 sin

π

4

-acos

π

4

=

2

2

-

2 a

2

=0，解得 a=1．                                                
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 f（x）=sinx-cosx．
故 g(x)=f(x)•f(-x)+2

3

sinxcosx=(sinx-cosx)(-sinx-cosx)+

3

sin2x 
=(cos2x-sin2x)+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)．
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
所以，g（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點的定義，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的單調區(qū)間的求法，屬于中檔題．