已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
2
=0
相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P(4,0),M,N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點,連接PN交橢圓C于另一點E,求直線PN的斜率的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,證明直線ME與x軸相交于定點.
分析:(Ⅰ)由題意知e=
c
a
=
3
2
,所以a2=4b2,由此可知橢圓C的方程為C:
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)由題意知直線PN的斜率存在,設(shè)直線PN的方程為y=k(x-4).由題設(shè)得(4k2+1)x2-32k2x+64k2-4=0.由此入手可知直線PN的斜率的取值范圍是:(-
3
6
,0)∪
(0,
3
6
)

(Ⅲ)設(shè)點N(x1,y1),E(x2,y2),則M(x1,-y1).直線ME的方程為y-y2=
y2+y1
x2-x1
(x-x2)
.令y=0,得x=x2-
y2(x2-x1)
y2+y1
.由此入手可知直線ME與x軸相交于定點(1,0).
解答:解:(Ⅰ)由題意知e=
c
a
=
3
2

所以e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
3
4
,即a2=4b2,∴a=2b
又因為b=
2
1+1
=1
,∴a=2,故橢圓C的方程為C:
x2
4
+y2=1
.(4分)
(Ⅱ)由題意知直線PN的斜率存在,設(shè)直線PN的方程為y=k(x-4).
y=k(x-4)
x2
4
+y2=1.
得(4k2+1)x2-32k2x+64k2-4=0.①(6分)
由△=(-32k22-4(4k2+1)(64k2-4)>0,得12k2-1<0,∴-
3
6
<k<
3
6
(8分)
又k=0不合題意,所以直線PN的斜率的取值范圍是:(-
3
6
,0)∪
(0,
3
6
)
.(9分)
(Ⅲ)設(shè)點N(x1,y1),E(x2,y2),則M(x1,-y1).
直線ME的方程為y-y2=
y2+y1
x2-x1
(x-x2)
.令y=0,得x=x2-
y2(x2-x1)
y2+y1
.(11分)
將y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入整理,得x=
2x1x2-4(x1+x2)
x1+x2-8
.②
由①得x1+x2=
32k2
4k2+1
,x1x2=
64k2-4
4k2+1
代入②整理,得x=1.(13分)
所以直線ME與x軸相交于定點(1,0).(14分)
點評:本題考查圓錐曲線的位置關(guān)系,解題時要認真審題,仔細解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長為2
3
,右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合,O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點,點D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長軸長是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過點P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點,且M,N不與橢圓的頂點重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長為2,離心率為
2
2
,設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案