Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
（1）用“五點(diǎn)法”作出f（x）在$x∈[-\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$上的簡(jiǎn)圖；
（2）寫(xiě)出f（x）的對(duì)稱中心以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求f（x）的最大值以及取得最大值時(shí)x的集合．

Answer 1

分析 （1）用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的圖象．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性以及圖象的對(duì)稱性，求出f（x）的對(duì)稱中心以及單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）利用正弦函數(shù)的最值求得f（x）的最大值以及取得最大值時(shí)x的集合．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，在$x∈[-\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$上，2x+$\frac{π}{4}$∈[0，2π]，列表：

2x+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2
x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$
f（x）	1	2	1	0	1

作圖：

（2）令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，0），k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（3 ）令2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{π}{8}$，可得函數(shù)f（x）的最大值為2，此時(shí)，x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的圖象，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．