【題目】已知曲線C上任一點P到點F1,0的距離比它到直線的距離少1.

1求曲線C的方程;

2過點作兩條傾斜角互補的直線與曲線C分別交于點A、B,試問:直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.

【答案】1;2直線AB的斜率為定值-1,理由詳見解析。

【解析】

試題分析:

1本問考查求軌跡方程問題,根據(jù)題中條件,曲線C上的點P到定點F1,0的距離比它到定直線l:x=-2的距離少1,那么可以將問題轉(zhuǎn)化為曲線C上的點到定點F1,0的距離與到定直線x=-1的距離相等,這樣由拋物線定義可知,曲線C為拋物線,以F為焦點,以直線l為準線,所以p=2,拋物線方程為,于是得到曲線C的方程y2=4x;

2由直線傾斜角互補可知,兩直線QA,QB的斜率互為相反數(shù),那么將QA,QB的斜率可以用坐標表示出來,設Ax1,y1,Bx2,y2,于是, ,由于A,B兩點在拋物線上滿足,,所以,則。所以整理得出:, ,所以直線AB的斜率為定值-1。第2問考查直線與圓錐曲線的位置關系,要求學生能夠?qū)缀螁栴}坐標化,考查學生的轉(zhuǎn)化能力。

試題解析:1因為P到點F1,0的距離比它到直線的距離少1

所以P到點F1,0的距離與它到直線的距離相等

所以由拋物線定義可知點P的軌跡是以F為焦點、以直線為準線的拋物線

所以P=2,

所以曲線C的方程為

2直線AB的斜率為定值-1,理由如下:

因為直線AQ,BQ傾斜角互補

所以

所以

所以

練習冊系列答案
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