Question

13．已知點A（1，0），點P是圓C：（x+1）²+y²=8上的任意一點，線段PA的垂直平分線與直線CP交于點E．
（1）求點E的軌跡方程；
（2）若直線y=kx+m與點E的軌跡有兩個不同的交點P和Q，且原點O總在以PQ為直徑的圓的內部，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件推出軌跡方程為橢圓，即可軌跡方程．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則將直線與橢圓的方程聯(lián)立，消去y，利用判別式以及韋達定理，通過數(shù)量積小于0，求出m、k的關系式，求出結果即可．

解答 解：（1）由題意知|EP|=|EA|，|CE|+|EP|=2$\sqrt{2}$，∴|CE|+|EA|=2$\sqrt{2}$＞2=|CA|，
∴E的軌跡是以C、A為焦點的橢圓，其軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$     …（4分）
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則將直線與橢圓的方程聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x}^{2}+2{y}^{2}=2\end{array}\right.$，
消去y，得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，△＞0，m²＜2k²+1…①
 x₁+x₂=$-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$   …（6分）
因為O在以PQ為直徑的圓的內部，故$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}＜0$，即x₁x₂+y₁y₂＜0 …（7分）
而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
由x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}+\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}＜0$  …（9分）
得：${m}^{2}＜\frac{2{k}^{2}+2}{3}$，∴${m}^{2}＜\frac{2}{3}$，且滿足①式M的取值范圍是$（-\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}）$．…（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，橢圓的簡單性質的應用，直線與橢圓位置關系的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力．