【題目】一種畫橢圓的工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點,短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動,長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動,且DN=ON=1,MN=3,當栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復運動時,帶動N繞O轉(zhuǎn)動,M處的筆尖畫出的橢圓記為C,以O為原點,AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設動直線l與兩定直線l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分別交于P,Q兩點.若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點,試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:設D(t,0),|t|≤2,

N(x0,y0),M(x,y),由題意得 =2

且| |=| |=1,

∴(t﹣x,﹣y)=2(x0﹣t,y0),且 ,

,且t(t﹣2x0)=0,

由于當點D不動時,點N也不動,∴t不恒等于0,

于是t=2x0,故x0= ,y0=﹣

代入x02+y02=1,得方程為


(2)解:①當直線l的斜率k不存在時,直線l為:x=4或x=﹣4,都有SOPQ= ,

②直線l的斜率k存在時,直線l為:y=kx+m,(k ),

消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,

∵直線l總與橢圓C有且只有一個公共點,

∴△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣16)=0,即m2=16k2+4,①,

,可得P( , ),同理得Q( , ),

原點O到直線PQ的距離d= 和|PQ|= |xP﹣xQ|,

可得SOPQ= |PQ|d= |m||xP﹣xQ|= |m|| |=| |②,

將①代入②得SOPQ=| |=8| |,

當k2 時,SOPQ=8( )=8(1+ )>8,

當0≤k2 時,SOPQ=8| |=﹣8( )=8(﹣1+ ),

∵0≤k2 時,∴0<1﹣4k2≤1, ≥2,

∴SOPQ=8(﹣1+ )≥8,當且僅當k=0時取等號,

∴當k=0時,SOPQ的最小值為8,

綜上可知當直線l與橢圓C在四個頂點處相切時,三角形OPQ的面積存在最小值為8.


【解析】(1)根據(jù)條件求出a,b即可求橢圓C的方程;(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求出原點到直線的距離,結(jié)合三角形的面積公式進行求解即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:).

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