已知x＞0，則當x＝________時，x＋的最小值為________．

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：北京市石景山區(qū)2006－2007學年度高三年級第一學期期末統(tǒng)一考試、數(shù)學(理科) 題型：013

已知定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足條件：(1)f(0)＝2；(2)f(x)＞1，且；當x∈R時，f′(x)＞0．若f(x)的反函數(shù)是f－1(x)，則不等式f－1(x)＜0的解集為

[　　]

A．(0，2)

B．(1，2)

C．(－∞，2)

D．(2,＋∞)

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年湖北夷陵中學高三第一次階段性考試數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

    已知定義域為[0, 1]的函數(shù)f（x）同時滿足：

    ①對于任意的x[0, 1]，總有f（x）≥0;

    ②f（1）＝1; 

    ③若0≤x1≤1, 0≤x2≤1, x1＋x2≤1, 則有f （x1＋x2） ≥ f （x1）＋f （x2）．

   （1）試求f（0）的值;

   （2）試求函數(shù)f（x）的最大值；

（3）試證明：當x, nN＋時，f（x）<2x．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年湖北夷陵中學高三第一次階段性考試數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

    已知定義域為[0, 1]的函數(shù)f（x）同時滿足：

    ①對于任意的x[0, 1]，總有f（x）≥0;

    ②f（1）＝1; 

    ③若0≤x1≤1, 0≤x2≤1, x1＋x2≤1, 則有f （x1＋x2） ≥ f （x1）＋f （x2）．

   （1）試求f（0）的值;

   （2）試求函數(shù)f（x）的最大值；

（3）試證明：當x, nN＋時，f（x）<2x．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年河北省高三8月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設切點為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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