Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

a

-

a

ex

（a＞0）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=1-

2a

2x+1

，判斷g（x）的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（3）若函數(shù)h（x）=e^2x+me^ax（其中e=2.71828…）在x∈[0，ln4]的最小值為0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=0，解出即可；
（2）先求出g（x）的表達式，利用定義證明即可；
（3）先求出h（x）的表達式，通過討論m的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出m的值．

解答： 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即

e0

a

-

a

e0

=0，
解得a=1，a=-1（舍），
（2）由（1）得：a=1，
∴g（x）=1-

2

2x+1

，是增函數(shù)，
設(shè)x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

，
由題設(shè)可得0＜2x₁＜2x₂，
∴f（x₁）＜f（x₂），故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
（3）由（1）得：a=1，∴h（x）=e^2x+me^x，
∴h′（x）=e^x（2e^x+m），
①m≥0時，h′（x）＞0，h（x）在[0，ln4]遞增，
∴h（x）min=h（0）=1+m=0，解得：m=-1（舍）；
②m＜0時，令h′（x）=0，解得：x=ln（-

m

2

），
當0＜ln（-

m

2

）≤1即-2≤m＜0時，h（x）在[0，ln4]遞增，
∴h（x）_min=h（0）=1+m=0，解得：m=-1，
當0＜ln（-

m

2

）＜ln4即-8＜m＜-2時，
h（x）在[0，ln（-

m

2

））遞減，在（ln（-

m

2

），ln4]遞增，
∴h（x）_min=h（ln（-

m

2

））
=e2ln(-

m

2

)+meln(-

m

2

)=(-

m

2

)2+m（-

m

2

）=0，
解得：m=0（舍），
當ln（-

m

2

）≥4即m≤-8時，h（x）在[0，ln4]遞減，
∴h（x）_min=h（ln4）=e^2ln4+me^ln4=16+4m=0，
解得：m=-4（舍），
綜上：m=-1．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查了函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道綜合題．