Question

對(duì)于橢圓

x2

9

+

y2

m

=1（0＜m＜9）上任意點(diǎn)（x，y），均存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ-2sinθ+1=0恒成立，則離心率e的范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由橢圓的參數(shù)方程，設(shè)x=3cosα，y=

m

sinα，代入方程運(yùn)用兩角和的正弦公式得到，

(3cosα)2+( m sinα-2)2

sin（θ+β）=-1，（β為輔助角）．由正弦函數(shù)的值域，得到不等式

(3cosα)2+( m sinα-2)2

≥1，其幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)（0，2）的距離不小于1，則有橢圓的一個(gè)端點(diǎn)（0，

m

）到點(diǎn)（0，2）的距離不小于1即可．解出0＜m≤1．再由離心率公式，即可得到它的范圍．

解答： 解：由于橢圓

x2

9

+

y2

m

=1（0＜m＜9），
設(shè)x=3cosα，y=

m

sinα，
由xcosθ+ysinθ-2sinθ+1=0，
可得3cosαcosθ+

m

sinαsinθ-2sinθ+1=0，
即有3cosαcosθ+（

m

sinα-2）sinθ=-1．
由于任意的α，均存在θ∈R，使得上式成立，
則由

(3cosα)2+( m sinα-2)2

sin（θ+β）=-1，（β為輔助角）．
即有

(3cosα)2+( m sinα-2)2

≥1，其幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)（0，2）的距離不小于1，
則有橢圓的一個(gè)端點(diǎn)（0，

m

）到點(diǎn)（0，2）的距離不小于1即可．
即有|

m

-2|≥1，由于0＜m＜9，解得0＜m≤1．
故離心率e=

9-m

3

，則e的范圍為[

2 2

3

，1）．
故答案為：[

2 2

3

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運(yùn)用，考查離心率的求法，考查橢圓的參數(shù)方程，以及三角函數(shù)的化簡及不等式的幾何意義，屬于中檔題．