Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x定義域?yàn)閇-2，t]（t＞-2），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（Ⅱ）求證：n＞m；
（Ⅲ）求證：對(duì)于任意的t＞-2，總存x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，并確定這樣的x₀的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定t的取值范圍，
（Ⅱ）運(yùn)用函數(shù)的極小值進(jìn)行證明，
（Ⅲ）首先對(duì)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判定．

解答：（Ⅰ）解：因?yàn)閒′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0?0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，
∴-2＜t≤0，
（Ⅱ）證：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-∞，0）∪（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值e，
又f（-2）=13e^-2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（-2），
從而當(dāng)t＞-2時(shí)，f（-2）＜f（t），
即m＜n，
（Ⅲ）證：因?yàn)?span id="txwpj6j" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

f′(x0)

ex0

=x

2 0

-x0，
∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
即為x₀²-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，
從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解并討論解的個(gè)數(shù)，
因?yàn)間（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t-4)(t+2)，
g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以當(dāng)t＞4或-2＜t＜1時(shí)，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-

4

3

(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，
當(dāng)t=1時(shí)，g（x）=x²-x=0，
解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
當(dāng)t=4時(shí)，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
綜上所述，對(duì)于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
且當(dāng)t≥4或-2＜t≤1時(shí)，有唯一的x₀適合題意，
當(dāng)1＜t＜4時(shí)，有兩個(gè)x₀適合題意．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運(yùn)算能力．