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如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

(Ⅰ)求證：NC∥平面MFD；

(Ⅱ)若EC＝3，求證：ND⊥FC；

(Ⅲ)求四面體NFEC體積的最大值．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：因為四邊形，都是矩形，

　　所以∥∥，．

　　所以四邊形是平行四邊形，2分

　　所以∥，3分

　　因為平面，

　　所以∥平面．4分

　　(Ⅱ)證明：連接，設．

　　因為平面平面，且，

　　所以平面，5分

　　所以．6分

　　又，所以四邊形為正方形，所以．7分

　　所以平面，8分

　　所以．9分

　　(Ⅲ)解：設，則，其中．

　　由(Ⅰ)得平面，

　　所以四面體的體積為．11分

　　所以；13分

　　當且僅當，即時，四面體的體積最大．14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，矩形ABCD中，AB=
8
3
3
，BC=2，橢圓M的中心和準線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線，矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長，橢圓M的離心率大于0.7．
（I）建立適當的平面直角坐標系，求橢圓M的方程；
（II）過橢圓M的中心作直線l與橢圓交于P，Q兩點，設橢圓的右焦點為F2，當∠PF2Q=
2π
3
時，求△PF2Q的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M為AD的中點，則
BM
•
BD
的值為
 
．
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科目：高中數學 來源： 題型：

A 若方程ax-x-a=0有兩個實數解，則a的取值范圍是
（1，+∞）
（1，+∞）

B 如圖，矩形ABCD中邊長AB=2，BC=1，E為BC的中點，若F為正方形內（含邊界）任意一點，則
AE
•
AF
的最大值為
9
2
9
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD中，DC=
3
，AD=1，在DC上截取DE=1，將△ADE沿AE翻折到D'點，當D'在平面ABC上的射影落在AE上時，四棱錐D'-ABCE的體積是
2
6
-
2
12
2
6
-
2
12
；當D'在平面ABC上的射影落在AC上時，二面角D'-AE-B的平面角的余弦值是
2-
3
2-
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理）如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD
（1）問BC邊上是否存在Q點，使
PQ
⊥
QD
，說明理由．
（2）問當Q點惟一，且cos＜
BP
，
QD
＞=
10
10
時，求點P的位置．

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