Question

已知函數(shù)f(x)=logacos(2x-

π

3

)（其中a＞0，且a≠1）．
（1）求它的定義域；（2）求它的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求它的最小正周期．

Answer 1

分析：（1）由對數(shù)函數(shù)的定義域可得cos（2x-

π

3

）＞0，根據(jù)2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

 k∈Z，求出x的范圍，即可得到所求．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間就是cos（2x-

π

3

）＞0時(shí)的增區(qū)間，由2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+0，k∈z 求出函數(shù)
的增區(qū)間．由2kπ＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，k∈z，求出函數(shù)減區(qū)間．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間就是a＞1時(shí)的減區(qū)間，
f（x）的單調(diào)減區(qū)間就是a＞1時(shí)的增區(qū)間．
（3）f（x）是周期函數(shù)，由周期計(jì)算公式求得結(jié)果．

解答：解：（1）要使f（x）有意義，需滿足cos（2x-

π

3

）＞0，…（2分）
∴2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，∴kπ-

π

12

＜x＜kπ+

5π

12

．k∈z …（5分）
∴f（x）的定義域?yàn)閧x|kπ-

π

12

＜x＜kπ+

5π

12

，k∈Z}．…（6分）
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間就是cos（2x-

π

3

）＞0時(shí)的增區(qū)間．
由 2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+0，k∈z，可得 kπ-

π

12

＜x＜kπ+

π

6

，k∈z，
故單調(diào)增區(qū)間是 （kπ-

π

12

，kπ+

π

6

 ），k∈z．
由 2kπ＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ+

π

6

＜x＜kπ+

5π

12

，k∈z，
故單調(diào)減區(qū)間是（kπ+

π

6

，kπ+

5π

12

） （k∈Z）． …（9分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間就是cos（2x-

π

3

）＞0時(shí)的減區(qū)間，
f（x）的單調(diào)減區(qū)間就是cos（2x-

π

3

）＞0時(shí)的增區(qū)間．
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是 （kπ+

π

6

，kπ+

5π

12

） （k∈Z）． 
故f（x）單調(diào)減區(qū)間是 （kπ-

π

12

，kπ+

π

6

 ），k∈z．…（12分）
（3）f（x）是周期函數(shù)，最小正周期是

2π

2

=π．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查余弦函數(shù)的定義域，對數(shù)函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的周期性及其求法，注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律：
同增異減，屬于中檔題．