【題目】已知f(x)=e2x+ln(x+a).
(1)當a=1時,①求f(x)在(0,1)處的切線方程;②當x≥0時,求證:f(x)≥(x+1)2+x.
(2)若存在x0∈[0,+∞),使得 成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:a=1時,f(x)=e2x+ln(x+1),f′(x)=2e2x+ ,

①可得f(0)=1,f′(0)=2+1=3,

所以f(x)在(0,1)處的切線方程為y=3x+1;

②證明:設F(x)=e2x+ln(x+1)﹣(x+1)2﹣x(x≥0),

F′(x)=2e2x+ ﹣2(x+1)﹣1

F″(x)=4e2x ﹣2=[e2x﹣﹣ ]+2(e2x﹣1)+e2x>0,(x≥0),

所以,F(xiàn)′(x)在[0,+∞)上遞增,所以F′(x)≥F′(0)=0,

所以,F(xiàn)(x)在[0,+∞)上遞增,所以F(x)≥F(0)=0,

即有當x≥0時,f(x)≥(x+1)2+x


(2)解:存在x0∈[0,+∞),使得 成立

存在x0∈[0,+∞),使得e ﹣ln(x0+a)﹣x02<0,

設u(x)=e2x﹣ln(x+a)﹣x2,

u′(x)=2e2x ﹣2x,u″(x)=4e2x+ ﹣2>0,

可得u′(x)在[0,+∞)單調增,即有u′(x)≥u′(0)=2﹣

①當a≥ 時,u′(0)=2﹣ ≥0,

可得u(x)在[0,+∞)單調增,

則u(x)min=u(0)=1﹣lna<0,

解得a>e;

②當a< 時,ln(x+a)<ln(x+ ),

設h(x)=x﹣ ﹣ln(x+ ),(x>0),

h′(x)=1﹣ = ,

另h′(x)>0可得x> ,h′(x)<0可得0<x< ,

則h(x)在(0, )單調遞減,在( ,+∞)單調遞增.

則h(x)≥h( )=0./p>

設g(x)=e2x﹣x2﹣(x﹣ ),(x>0),

g′(x)=2e2x﹣2x﹣1,

g″(x)=4e2x﹣2>4﹣2>0,

可得g′(x)在(0,+∞)單調遞增,

即有g′(x)>g′(0)=1>0,

則g(x)在(0,+∞)單調遞增,

則g(x)>g(0)>0,

則e2x﹣x2>x﹣ >ln(x+ )>ln(x+a),

則當a< 時,f(x)>2ln(x+a)+x2恒成立,不合題意.

綜上可得,a的取值范圍為(e,+∞)


【解析】(1)①求出f(x)的導數(shù),可得切線的斜率,由斜截式方程即可得到所求切線的方程;②設F(x)=e2x+ln(x+1)﹣(x+1)2﹣x(x≥0),通過兩次求導,判斷F(x)的單調性,即可得證;(2)由題意可得存在x0∈[0,+∞),使得e ﹣ln(x0+a)﹣x02<0,設u(x)=e2x﹣ln(x+a)﹣x2 , 兩次求導,判斷單調性,對a討論,分①當a≥ 時,②當a< 時,通過構造函數(shù)和求導,得到單調區(qū)間,可得最值,即可得到所求a的范圍.

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