Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{π}{3}$）+2sin²$\frac{x}{2}$，x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）值域．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1，由x∈[0，π]結(jié)合三角函數(shù)的運算可得值域．

解答 解：化簡可得f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{π}{3}$）+2sin²$\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+2sin²$\frac{x}{2}$
=$\sqrt{3}$sinx+1-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[0，π]，∴x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]，
∴函數(shù)f（x）值域為[0，3]

點評 本題考查三角函數(shù)的值域，涉及和差角公式和二倍角公式，屬基礎(chǔ)題．