Question

已知函數(shù)F（x）=，（x），
（I）求F（）+F（）+…+F（）的值；
（II）已知數(shù)列{an}滿足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求證數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（III）已知b_n=，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得F（x）+F（1-x）=3，所以設(shè)S=F（）+f（）+…+F（）倒序后相加即可得到結(jié)果．
（II）由a _n+1=F（a_n）兩邊同減去1，得==2+，所以，{}是以2為公差以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列．
（III）利用條件可得a_nb_n=，它是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列積的形式，利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和．
解答：解：（I）因F（x）+F（1-x）==3．------------------------------（2分）
所以設(shè)S=F（）+f（）+…+F（）…（1）
S=F（）+f（）+…+F（）…（2）
（1）+（2）得：2S=2009×[F（）+F（）]=3×2009=6027，
∴S=．
（II）由a _n+1=F（a_n）兩邊同減去1，得a _n+1-1=-1=．---------（7分）
所以==2+
所以，{}是以2為公差以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列．----（10分）
（III）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112741741777775/SYS201312021127417417777019_DA/24.png">，
∴a_n=1+=．
因?yàn)閎_n=，所以a_nb_n=------------------------------（12分）
S_n=++…+（3）
S_n=++…+          （4）
由（3）-（4）得
S_n=++…+-
=2--
所以S_n=4------------------------------（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和是數(shù)列求和方法中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，要注意掌握