Question

9．任取k∈[-1，1]，直線y=k（x+2）與圓x²+y²=4相交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|$≥2\sqrt{3}$的概率是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)求出滿足|MN|$≥2\sqrt{3}$的等價(jià)條件，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：圓心為O（0，0），半徑R=2，
圓心到直線的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則|MN|=2$\sqrt{{R}^{2}-uy7eyue^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}=\sqrt{\frac{4}{1+{k}^{2}}}$×2=$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由|MN|$≥2\sqrt{3}$得$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$$≥2\sqrt{3}$，
平方得$\frac{16}{1+{k}^{2}}≥12$，
即k²$≤\frac{1}{3}$，
即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵已知k∈[-1，1]，
∴對(duì)應(yīng)的概率P=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}{1-（-1）}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)求出滿足條件的k的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．