Question

14．△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，面積為S．
（1）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$S，求A的值；
（2）若tanA：tanB：tanC=1：2：3，且c=1，求b．

Answer 1

分析 （1）由已知中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$S，可得tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進(jìn)而求出A值；
（2）設(shè)tanA=k，tanB=2k，tanC=3k，（k＞0），利用和角正切公式，可得k=1，再由正弦定理，可得答案．

解答 解：（1）∵△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，面積為S．
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=bccosA=2$\sqrt{3}$S=$\sqrt{3}$bcsinA，
∴cosA=$\sqrt{3}$sinA，
∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵A是△ABC的內(nèi)角，
∴A=30°
（2）∵tanA：tanB：tanC=1：2：3，
∴設(shè)tanA=k，tanB=2k，tanC=3k，（k＞0）
則tanC=-tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$，
即$3k=\frac{3k}{2{k}^{2}-1}$，
解得：k=1，
故tanB=2，tanC=3，
則sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
由正弦定理可得：$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}$，即b=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形面積公式，向量的數(shù)量積公式，兩角和的正切公式，正弦定理，難度中檔．