Question

（文科實(shí)驗(yàn)做）已知函數(shù)f（x）=

1

2

x⁴-2x³+3m，x∈R，若f（x）-

5m

2

≥0恒成立，則m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的最小值，把f（x）-

5m

2

≥0恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）≥

5m

2

恒成立，代入f（x）的最小值即可求得m的范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1

2

x⁴-2x³+3m，
∴f′（x）=2x³-6x²，
令f′（x）=0，得x=0或x=3，
經(jīng)檢驗(yàn)知x=3是函數(shù)的一個最小值點(diǎn)，
∴函數(shù)的最小值為f（3）=3m-

27

2

，
∵不等式f（x）-

5m

2

≥0恒成立，即f（x）≥

5m

2

恒成立，
所以3m-

27

2

≥

5m

2

，解得m≥27．
故答案為：m≥27．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．