已知α∈R且α＜0，設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+x-3alnx．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，證明：f（x）≤2x-2．
【答案】分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由a＜0排除一個，然后由零點(diǎn)對定義域分段，根據(jù)不同區(qū)間段內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）把a(bǔ)=-1代入函數(shù)解析式，然后把要證的不等式作差后構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求構(gòu)造出的函數(shù)的最值，由函數(shù)最大值等于0證得不等式．
解答：（I）解：由f（x）=ax2+x-3alnx，得（x＞0）．
 令f′（x）=0解得，（舍）．
列表如下：
x（0，x1）x1（x1，+∞）
f′（x）+-
f（x）增函數(shù)減函數(shù)
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，）、遞減區(qū)間為（，+∞）
（II）證明：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），a=-1時，f（x）=x-x2+3lnx
設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx．
則．
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0．
所以，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
而g（1）=0，故當(dāng)x＞0時，g（x）≤0．
即f（x）≤2x-2．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是有一定難度題目．
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已知M（-3，0）﹑N（3，0），P為坐標(biāo)平面上的動點(diǎn)，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數(shù)m（m≥-1，m≠0）．
（1）求P點(diǎn)的軌跡方程并討論軌跡是什么曲線？
（2）若m=-
5
9
，P點(diǎn)的軌跡為曲線C，過點(diǎn)Q（2，0）斜率為k1的直線?1與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A﹑B，AB中點(diǎn)為R，直線OR（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為k2，求證k1k2為定值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)
QB
=λ
AQ
，且λ∈[2，3]，求?1在y軸上的截距的變化范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α∈R且α＜0，設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+x-3alnx．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，證明：f（x）≤2x-2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年廣東地區(qū)數(shù)學(xué)科全國各地模擬試題直線與圓錐曲線大題集 題型：044

已知R(－3，0)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足，．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時，求M點(diǎn)的軌跡C的方程；

(2)設(shè)A、B為軌跡C上兩點(diǎn)，N(1，0)，xA＞1，yA＞0，若存在實(shí)數(shù)λ，使，且，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知α∈R且α＜0，設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+x-3alnx．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，證明：f（x）≤2x-2．

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