已知α∈R且α<0,設函數(shù)f(x)=ax2+x-3alnx.
(I)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)當a=-1時,證明:f(x)≤2x-2.
分析:(Ⅰ)求出原函數(shù)的導函數(shù),解出導函數(shù)的零點,由a<0排除一個,然后由零點對定義域分段,根據(jù)不同區(qū)間段內導函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)把a=-1代入函數(shù)解析式,然后把要證的不等式作差后構造輔助函數(shù),利用導函數(shù)求構造出的函數(shù)的最值,由函數(shù)最大值等于0證得不等式.
解答:(I)解:由f(x)=ax2+x-3alnx,得f(x)=2ax+1-
3a
x
=
2ax2+x-3a
x
(x>0).
 令f′(x)=0解得x1=
-1-
1+24a2
4a
,x2=
-1+
1+24a2
4a
(舍).
列表如下:
x (0,x1 x1 (x1,+∞)
f′(x) + 0 -
f(x) 增函數(shù) 減函數(shù)
故f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,
-1-
1+24a2
4a
)、遞減區(qū)間為(
-1-
1+24a2
4a
,+∞)
(II)證明:f(x)的定義域為(0,+∞),a=-1時,f(x)=x-x2+3lnx
設g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx.
g(x)=-1-2x+
3
x
=-
(x-1)(2x+3)
x

當0<x<1時,g′(x)>0,當x>1時,g′(x)<0.
所以,g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.
而g(1)=0,故當x>0時,g(x)≤0.
即f(x)≤2x-2.
點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,訓練了函數(shù)構造法,考查了數(shù)學轉化思想方法,是有一定難度題目.
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5
9
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QB
AQ
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