Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+a的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．
（1）求a的值；
（2）證明函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）若函數(shù)f（x）在[n，n+1]（n＞0）上的最大值為4，求n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代值計(jì)算即可．
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷即可，先求導(dǎo)，再判斷單調(diào)性，
（3）根據(jù)單調(diào)性，知當(dāng)x=n時(shí)，函數(shù)有最大值，代值計(jì)算即可

解答： 解：（1）f（x）=

1

x

+a的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．
∴f（1）=1+a=2，
解得a=1，
（2）∵f′（x）=-

1

x2

＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=n時(shí)，函數(shù)有最大值，
∴

1

n

+1=4，
解得n=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及最值的問題，屬于基礎(chǔ)題．