【題目】已知函數(shù)f(x)=4sin2 + )sinx+(cosx+sinx)(cosx﹣sinx)﹣1.
(1)化簡f(x);
(2)常數(shù)ω>0,若函數(shù)y=f(ωx)在區(qū)間 上是增函數(shù),求ω的取值范圍;
(3)若函數(shù)g(x)= 的最大值為2,求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】
(1)解:f(x)=2[1﹣cos( +x)]sinx+cos2x﹣sin2x﹣1=(2+2sinx)sinx+1﹣2sin2x﹣1=2sinx.
(2)解:∵f(ωx)=2sinωx,由 ≤ωx≤ ,解得﹣ + ≤x≤ +

∴f(ωx)的遞增區(qū)間為[﹣ + , + ],k∈Z.∵f(ωx)在[﹣ , ]上是增函數(shù),

∴當(dāng)k=0時(shí),有 ,∴ ,解得 ,

∴ω的取值范圍是(0, ].


(3)解:g(x)=sin2x+asinx﹣acosx﹣ a﹣1,令sinx﹣cosx=t,則sin2x=1﹣t2,

∴y=1﹣t2+at﹣ a﹣1=﹣(t﹣ 2+ ,∵t=sinx﹣cosx= sin(x﹣ ),

∵x∈[﹣ , ],∴x﹣ ∈[﹣ , ],∴

①當(dāng) <﹣ ,即a<﹣2 時(shí),ymax=﹣( 2+ =﹣ a﹣ ﹣2.

令﹣ a﹣ ﹣2=2,解得a=﹣ (舍).

②當(dāng)﹣ ≤1,即﹣2 ≤a≤2時(shí),ymax= ,令 ,解得a=﹣2或a=4(舍).

③當(dāng) ,即a>2時(shí),在t=1處 ,由 得a=6.

因此,a=﹣2或a=6.


【解析】(1)使用降次公式和誘導(dǎo)公式化簡4sin2 + ),使用平方差公式和二倍角公式化簡(cosx+sinx)(cosx﹣sinx);(2)求出f(ωx)的包含0的增區(qū)間U,令[﹣ , ]U,列出不等式組解出ω;(3)求出g(x)解析式,判斷g(x)的最大值,列方程解出a.

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(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥0對所有的x∈[0, ]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)﹣2m+4=0在[0, ]上有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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B.p∧q
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(1)求生產(chǎn)4件A型產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率;
(2)記X(單位:萬元)為生產(chǎn)1件A型產(chǎn)品和1件B型產(chǎn)品可獲得的利潤,求X的分布列及期望值.

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(2)令Cn= ,求數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Tn

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