如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=
2
．
（1）證明：DE⊥平面ACD；
（2）（文科）點(diǎn)P、Q分別為AE、BD的中點(diǎn)．求證：PQ∥平面ADC．
（3）（理科）求二面角B-AD-E的大小．
考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；（2）PQ∥AO，而PQ?平面ADC，所以PQ∥平面ADC；（3）利用向量法求解．
解答： 解：（1）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2得，BD=BC=
2
，由AC=
2
，AB=2，則AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；

（2）（文科）：取DC中點(diǎn)O，連接EO、AO，BO．則四邊形DOBE為正方形，所以EO過點(diǎn)Q且Q平分EO，所以PQ∥AO，而PQ?平面ADC，所以PQ∥平面ADC．
（3）（理科）方法一：作BF⊥AD，與AD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥DE，與AE交于點(diǎn)G，連結(jié)BG，由（ I）知，DE⊥AD，則FG⊥AD，所以∠BFG是二面角B-AD-E的平面角，在直角梯形BCDE中，由

CD2=BD2+BC2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥⊥平面ABC，從而，BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得：AC⊥CD，在Rt△ACD中，由CD=2，AC=
2
，得AD=
6
，
在Rt△AED中，DE=1，AD=
6
，得AE=
7
，在Rt△ABD中，BD=
2
，AB=2，AD=
6
，得BF=
2
3
3
，AF=
2
3
AD，從而GF=
2
3
，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分別可得cos∠BAE=
5
7
14
，BG=
2
3
，在△BFG中，cos∠BFG=
GF2+BF2-BG2
2BF•GF
=
3
2
，所以∠BFG=
π
6
，即二面角B-AD-E的大小是
π
6
．
方法二：以D為原點(diǎn)，分別以射線DE，DC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示，由題意可知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

D（0，0，0），E（1，0，0），C（0，2，0），A（0，2，
2
），B（1，1，0），設(shè)平面ADE的法向量為
m
=（x1，y1，z1），平面ABD的法向量為
n
=（x2，y2，z2），可算得
AD
=（0，-2，-
2
），
DB
=（1，1，0），
AE
=（1，-2，-
2
），由
m
•
AD
=0
m
•
AE
=0
得，
0-2y1-
2
z1=0
x1-2y1-
2
z1=0
，可取
m
=（0，1，-
2
），由
n
•
AD
=0
n
•
BD
=0
得，
0-2y2-
2
z2=0
x2+y2=0
，可取
n
=（1，-1，
2
），于是cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
||
n
|
=
3
2
，由題意可知，所求二面角是銳角，故二面角B-AD-E的大小是
π
6
．
點(diǎn)評：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）左、右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），若雙曲線右支上存在點(diǎn)P使得
a
sin∠PF1F2
=
c
sin∠PF2F1
，則該雙曲線離心率的取值范圍為（　　）
A、（0，
2
-1）
B、（
2
-1，1）
C、（1，
2
+1）
D、（
2
+1，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a（x-1），g（x）=（x+b）lnx（a，b是實(shí)數(shù)，且a＞0）
（Ⅰ）若g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)b=1時，若f（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+
1
2
ax2-（a+1）x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0時，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的值；
（3）若對任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+x1＜f（x2）+x2恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，P是棱CD上一點(diǎn)，AB=2，AD=
2
，AA1=3，CP=3，PD=1．
（1）求異面直線A1P與BC1所成的角；
（2）求證：PB⊥平面BCC1B1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=n2-n．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn+1=2bn-an且b1=4，
（i）證明：數(shù)列{bn-2n}是等比數(shù)列，并求{bn}的通項(xiàng)；
（ii）當(dāng)n≥2時，比較bn-1•bn+1與bn2的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 如圖，已知底面圓半徑為4的圓錐SO中，S為頂點(diǎn)，O為底面圓心，SB、SC是母線，∠BOC=120°，作OA⊥SC于A點(diǎn)，若將△SAO繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積是圓錐SO體積的
1
4
．
（Ⅰ）求圓錐SO的體積；
（Ⅱ）在△SAO繞軸SO旋轉(zhuǎn)一周過程中（此時C點(diǎn)不動），求二面角A-OB-C余弦值的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將函數(shù)y=sinπx在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部零點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{an}．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令bn=2nan，其中n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
lnx+1
sinθ
（0＜θ＜π），且f（x）≤x對?x＞0恒成立．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=f（1），an+1=
1
2
an+
n2-2n-1
4n2(n+1)2
（n∈N*）．
（1）求θ的取值集合；
（2）設(shè)bn=an-
1
2n2
，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（3）數(shù)列{cn}中，c1=1，cn+1=（1+an）cn，求證：cn＜e2．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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