Question

設(shè)橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），拋物線C：y²=-4a²x的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，且

AF

₁=2

AF2

．
（Ⅰ）求P的值及橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）過F₁、F₂分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(diǎn)（如圖），求四邊形DMEN面積的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由橢圓的焦點(diǎn)可得c=1．由拋物線C：y²=-4a²x的準(zhǔn)線方程為x=a²，可得點(diǎn)A（a²，0）．由于

AF

₁=2

AF2

．可得F₂為AF₁的中點(diǎn)．利用a²=3，b²=a²-c²=2，即可得出．
（II）①當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí)，|DE|=

2b2

a

=

4

3

，此時(shí)|MN|=2a=2

3

，可得四邊形DMEN的面積S=

1

2

|DE|•|MN|；同理當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，也有四邊形DMEN的面積S=4．
②當(dāng)直線DE、NM均與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線DE：y=k（x+1），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其弦長(zhǎng)公式|DE|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 (1+k2)

2+3k2

；同理可得|MN|=

4 3 (1+k2)

3+2k2

．四邊形的面積S=

1

2

|DE|•|MN|=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

．
令u=k2+

1

k2

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)．S=

24(u+2)

6u+13

，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）由橢圓的焦點(diǎn)可得c=1．
拋物線C：y²=-4a²x的準(zhǔn)線方程為x=a²，
∴點(diǎn)A（a²，0）．
∵

AF

₁=2

AF2

．∴F₂為AF₁的中點(diǎn)．
∴a²=3，b²=a²-c²=2，
即橢圓C₁的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（II）①當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí)，|DE|=

2b2

a

=

4

3

，此時(shí)|MN|=2a=2

3

，
四邊形DMEN的面積S=

1

2

|DE|•|MN|=4；
同理當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，也有四邊形DMEN的面積S=4．
②當(dāng)直線DE、NM均與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線DE：y=k（x+1），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x+1) x2 3 + y2 2 =1

化為（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
∴x1+x2=

-6k2

2+3k2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

．
∴|DE|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 (1+k2)

2+3k2

；
同理可得|MN|=

4 3 (1+k2)

3+2k2

．
∴四邊形的面積S=

1

2

|DE|•|MN|=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

．
令u=k2+

1

k2

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)．
S=

24(u+2)

6u+13

=4(1-

1

6u+13

)．
∴當(dāng)u=2，S=

96

25

，
且S是以u(píng)為自變量的增函數(shù)，∴

96

25

≤S＜4．
綜上可知，

96

25

≤S≤4．
因此四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為

96

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、四邊形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、換元法、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．