Question

已知動點P（x，y）到定點F（4，0）的距離與到定直線l：x=

25

4

的距離之比為

4

5

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）過圓O：x²+y²=5²+3²上任一點Q（m，n）作軌跡W的兩條切線l₁，l₂，求證：l₁⊥l₂；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）證明的結(jié)論，寫出一個一般性結(jié)論（不需證明）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）動點P（x，y）到定點F（4，0）的距離與到定直線l：x=

25

4

的距離之比為

4

5

，由橢圓的第二定義知動點P的軌跡是焦點在x軸的橢圓，可得

c=4 a2 c = 25 4 c a = 4 5

，解得即可；
（Ⅱ）假設(shè)兩條切線的斜率都存在時，設(shè)切線方程為y=k（x-m）+n，m²+n²=34．與橢圓方程化為（9+25k²）x²+50k（n-km）x+25（n-km）²-225=0，利用△=0，化為（m²-25）k²-2mnk+n²-9=0，只要證明k₁k₂=-1，即可．當(dāng)兩條切線的斜率由一條不存在時，直接驗證兩條切線垂直．
（III）根據(jù)（Ⅱ）證明的結(jié)論，寫出一個一般性結(jié)論：過圓x²+y²=a²+b²上的任意一點P（m，n）作橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩條切線，則此兩條切線相互垂直．

解答： （Ⅰ）解：∵動點P（x，y）到定點F（4，0）的距離與到定直線l：x=

25

4

的距離之比為

4

5

，
∴由橢圓的第二定義知動點P的軌跡是焦點在x軸的橢圓，
且

c=4 a2 c = 25 4 c a = 4 5

，解得a=5，c=4，
∴b²=25-16=9，
∴動點P的軌跡W的方程為

x2

25

+

y2

9

=1．
（Ⅱ）證明：假設(shè)兩條切線的斜率都存在時，設(shè)切線方程為y=k（x-m）+n，m²+n²=34．
聯(lián)立

y=k(x-m)+n x2 25 + y2 9 =1

，化為（9+25k²）x²+50k（n-km）x+25（n-km）²-225=0，
∴△=2500（n-km）²k²-4（9+25k²）[25（n-km）²-225]=0，
化為（m²-25）k²-2mnk+n²-9=0，
∴k₁k₂=

n2-9

m2-25

=

25-m2

m2-25

=-1，
因此此時橢圓的兩條切線相互垂直．
當(dāng)兩條切線的斜率由一條不存在時，直接驗證兩條切線垂直．
綜上可得：l₁⊥l₂；
（III）解：根據(jù)（Ⅱ）證明的結(jié)論，寫出一個一般性結(jié)論：過圓x²+y²=a²+b²上的任意一點P（m，n）作橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩條切線，則此兩條切線相互垂直．

點評：本題考查了圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△=0、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線相互垂直與斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．