Question

已知函數(shù)，（）
（1）若函數(shù)存在極值點，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當且時，令，()，()為曲線y=上的兩動點，O為坐標原點，能否使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由。

Answer 1

（1）
（2）當時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。
（3）對任意給定的正實數(shù)，曲線上總存在兩點，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上

解析試題分析：解：（Ⅰ），若存在極值點，則有兩個不相等實數(shù)根。所以，              2分
解得               3分
(Ⅱ)               4分
當時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；       5分
當時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。
7分
（Ⅲ） 當且時，假設(shè)使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。則且。     8分
不妨設(shè)。故，則。，該方程有解          9分
當時，則，代入方程得即，而此方程無實數(shù)解；              10分
當時，則；         11分
當時，則，代入方程得即，               12分
設(shè)，則在上恒成立。在上單調(diào)遞增，從而，則值域為。
當時，方程有解，即方程有解。     13分
綜上所述，對任意給定的正實數(shù)，曲線上總存在兩點，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。           14分
考點：導數(shù)的運用
點評：主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)與方程思想的綜合運用，屬于中檔題。