Question

14．下列說法正確的是（　　）

• A． f（x）=lnx²與g（x）=2lnx是同一個(gè)函數(shù)
• B． $cos\frac{π}{12}=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$
• C． △ABC中，$cos（A+B）+sin\frac{C}{2}$的最小值是-1
• D． 因?yàn)?\sqrt{2}=2cos\frac{π}{4}$，所以$\sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{π}{8}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)相等的定義，可判斷A；利用半角公式求出$cos\frac{π}{12}$，可判斷B；求出$cos（A+B）+sin\frac{C}{2}$的最小值，可判斷C；利用半角公式判斷$\sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{π}{8}$是否成立，可判斷D

解答 解：A中，f（x）=lnx²的定義域?yàn)閧x|x≠0}，而g（x）=2lnx的定義域?yàn)閧x|x＞0}，故不是同一個(gè)函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
$cos\frac{π}{12}$=$\sqrt{\frac{1+cos\frac{π}{6}}{2}}$=$\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，故B錯(cuò)誤；
△ABC中，$cos（A+B）+sin\frac{C}{2}$=-cosC$+sin\frac{C}{2}$=$2si{n}^{2}\frac{C}{2}+sin\frac{C}{2}-1$=$2（sin\frac{C}{2}+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{9}{8}$的最小值為$\frac{9}{8}$，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?\sqrt{2}=2cos\frac{π}{4}$，所以$\sqrt{2+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2+2cos\frac{π}{4}}$=$\sqrt{2+2（2co{s}^{2}\frac{π}{8}-1）}$=$\sqrt{4co{s}^{2}\frac{π}{8}}$=|$2cos\frac{π}{8}$|=$2cos\frac{π}{8}$，故D正確；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了半角公式，函數(shù)相等的定義，三角函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．