Question

某選手在電視搶答賽中答對(duì)每道題的概率都是

1

3

，答錯(cuò)每道題的概率都是

2

3

，答對(duì)一道題積1分，答錯(cuò)一道題積-1分，答完n
道題后的總積分記為S_n．
（1）答完2道題后，求同時(shí)滿足S₁=1且S₂≥0的概率；
（2）答完5道題后，求同時(shí)滿足S₁=1且S₅=1的概率；
（3）答完5道題后，設(shè)ξ=|S₅|，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意“S₁=1 且S₂≥0”表示“答完2 題，第一題答對(duì)，第二題答錯(cuò)；或第一題答對(duì)，第二題也答對(duì)”這兩種情況是互斥的，得到概率．
（2）由題意“S₁=1 且S₅=1”表示“答完5 道題，第一題答對(duì)，后四題答對(duì)兩道，答錯(cuò)兩道”，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到結(jié)果．
（3）因?yàn)榇鹜?道題，結(jié)果可能是答對(duì)0 道，此時(shí)S₅=-5，ξ=5；可能是答對(duì)1 道，此時(shí)S₅=-3，ξ=3；可能是答對(duì)2 道，此時(shí)S₅=-1，ξ=1；可能是答對(duì)3 道，此時(shí)S₅=1，ξ=1；可能是答對(duì)4 道，此時(shí)S₅=3，ξ=3；可能是答對(duì)5 道，此時(shí)S₅=5，ξ=5，得到概率，寫(xiě)出分布列和期望值．

解答：解：（1）由題意“S₁=1 且S₂≥0”表示“答完2 題，第一題答對(duì)，第二題答錯(cuò)；
或第一題答對(duì)，第二題也答對(duì)”
此時(shí)概率P=

1

3

•

2

3

+

1

3

•

1

3

=

1

3

 
（2）由題意“S₁=1 且S₅=1”表示“答完5 道題，第一題答對(duì)，后四題答對(duì)兩道，答錯(cuò)兩道”
此時(shí)概率P=

1

3

•

C

2 4

(

1

3

)2•(

2

3

)2=

8

81

 
（3）因?yàn)榇鹜?道題，結(jié)果可能是答對(duì)0 道，此時(shí)S₅=-5，ξ=5；可能是答對(duì)1 道，此時(shí)S₅=-3，ξ=3；可能是答對(duì)2 道，此時(shí)S₅=-1，ξ=1；可能是答對(duì)3 道，此時(shí)S₅=1，ξ=1；可能是答對(duì)4 道，此時(shí)S₅=3，ξ=3；可能是答對(duì)5 道，此時(shí)S₅=5，ξ=5，∴ξ 的取值只能是1，3，5，
P(ξ=3)=

C

1 5

1

3

(

2

3

)4+

C

4 5

(

1

3

)4

2

3

=

10

27

，
P(ξ=1)=

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3+

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2=

40

81

 
，P(ξ=5)=

C

0 5

(

2

3

)5+

C

5 5

(

1

3

)5=

11

81

 
∴ξ 的分布列為

ξ		3
P		10 27

∴Eξ=

185

81

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量飛分布列和期望值，本題解題的關(guān)鍵是看出變量對(duì)應(yīng)的事件，結(jié)合事件寫(xiě)出變量對(duì)應(yīng)的概率