Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²，其中a為實常數(shù)．
（1）若f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=-2時，求證：f（x）有3個零點；
（3）設(shè)y=g（x）為f（x）在x₀處的切線，若“?x≠x₀，（f（x）-g（x））（x-x₀）＞0”，則稱x₀為f（x）的一個優(yōu)美點，是否存在實數(shù)a，使得x₀=2是f（x）的一個優(yōu)美點？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：e≈2.718）

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，可得導(dǎo)函數(shù)f′（x）≤0在區(qū)間（1，2）上恒成立，解不等式可得實數(shù)a的取值范圍；
（2）將a=-2代入，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合由零點存在定理討論各段上函數(shù)零點的個數(shù)，綜合討論結(jié)果可得結(jié)論；
（3）根據(jù)優(yōu)美點的定義，判斷x₀=2時，“?x≠x₀，（f（x）-g（x））（x-x₀）＞0”是否成立，即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x+ax²，
∴f′（x）=e^x+2ax，
∵f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）=e^x+2ax≤0，在區(qū)間（1，2）上恒成立
即2a≤-

ex

x

在區(qū)間（1，2）上恒成立
令h（x）=-

ex

x

，則h′（x）=-

(x-1)•ex

x2

，
∵當x∈（1，2）時，h′（x）＜0恒成立
∴h（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，
∴h（x）＞h（2）=-

e2

2

故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-

e2

4

]
（2）當a=-2時，f（x）=e^x-2x²，f′（x）=e^x-4x，
①當x≤0時，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增
又由f（-1）=

1

e

-2＜0，f（0）=1＞0，故f（x）在（-∞，0]上有且只有一個零點；
②x＞0時，設(shè)v（x）=

ex

x

，由（1）可知，v（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
故v（x）≥v（1）=e＜4
又∵v（

1

4

）=4e

1

4

＞4，v（3）=

e3

3

＞4
故v（x）在（0，1）上和（1，+∞）上各存在唯一的一個值m，n使v（x）=4
則當x∈（0，m）時，f（x）單調(diào)遞增，此時f（x）無零點
當x∈（m，n）時，f（x）單調(diào)遞減，
當x∈（n，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增，
又由函數(shù)的極大值f（m）＞0，且f（2）=e²-8＜0，f（3）=e³-18＞0
故f（x）在（m，n）和（n，+∞）上各有唯一一個零點
綜上所述f（x）有3個零點；
（3）f（x）在x=2處的切線，g（x）=（e²+4a）（x-2）+（e²+4a）
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=e^x+ax²-（e²+4a）（x-2）-（e²+4a）
∴F′（x）=e^x+2ax-e²-4a，F(xiàn)′′（x）=e^x+2a
1）當x＞2時，
①若2a≥-e^x，即a≥-

1

2

e^x，F(xiàn)′′（x）≥0，
此時F′（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)
∴F′（x）＞F′（2）≥0
∴F（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)
∴F（x）＞F（2）=0
∴[f（x）-g（x）]（x-x₀）＞0恒成立；
②若2a＜-e^x，即a＜-

1

2

e^x，則存在m＞2，使F″（m）=0，
又由F′′（x）=e^x+2a為增函數(shù)，
∴在（2，m）上，F(xiàn)″（x）＜F″（m）=0
∴F′（x）在（2，m）上為減函數(shù)
∴F′（x）＜F′（2）=0
此時F（x）在（2，m）上單調(diào)遞減
故當x∈（2，m）時，F(xiàn)（x）＜F（2）=0
故∴[f（x）-g（x）]（x-x₀）＜0不合題意
由①②得a≥-

1

2

e^x，
2）當x＜2時，
③若2a≤-e^x，即a≤-

1

2

e^x，F(xiàn)′′（x）=e^x+2a≤0
∴F′（x）在（-∞，2）上為減函數(shù)
∴F′（x）＞F′（2）=0
∴F（x）在（-∞，2）上為增函數(shù)
∴F（x）＜F（2）=0
∴[f（x）-g（x）]（x-x₀）＞0恒成立；
④若2a＞-e^x，即a＞-

1

2

e^x，則存在n＜2，使F″（n）=0，
又由F′′（x）=e^x+2a為增函數(shù)，
∴在（n，2）上，F(xiàn)″（x）＞F″（n）=0
∴F′（x）在（n，2）上為增函數(shù)
∴F′（x）＜F′（2）=0
此時F（x）在（2，m）上單調(diào)遞減
故當x∈（n，2）時，F(xiàn)（x）＞F（2）=0
故∴[f（x）-g（x）]（x-x₀）＜0不合題意
由③④得a≤-

1

2

e^x，
綜上所述存在實數(shù)a=-

1

2

e^x，使得x₀=2是f（x）的一個優(yōu)美點

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根的存在性及根的個數(shù)判斷，難度較大，運算量也比較大．