Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₂=1，前n項和為S_n，且2S_n=n（a_n-a₁）．
（1）求a₁；
（2）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求其通項公式；
（3）若b_n=$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}{2}^{{a}_{n+1}}}$，且b₁+b₂+…+b_n-1≤1-（k+1）b_n對一切正整數(shù)n恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）令n=1，由a₁=S₁，即可得到；
（2）將n換為n-1，相減可得a_n=$\frac{n-1}{n-2}$a_n-1，再由累乘法，即可得到所求；
（3）求得b_n=$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}{2}^{{a}_{n+1}}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$，再由裂項相消求和，化簡整理，可得k≤$\frac{n}{n+2}$恒成立，求得右邊的最小值，即可得到k的最大值．

解答 解：（1）令n=1，即有2S₁=a₁-a₁=0，
則a₁=0；
（2）證明：2S_n=na_n，
可得2S_n-1=（n-1）a_n-1，
相減可得2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，
即有a_n=$\frac{n-1}{n-2}$a_n-1，
即有a_n=a₃•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=2•$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$…$\frac{n-1}{n-2}$=n-1，
上式對n=1，2也成立，
故數(shù)列{a_n}為首項為0，公差為1的等差數(shù)列，
且a_n=n-1；
（3）b_n=$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}{2}^{{a}_{n+1}}}$=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$，
即有b₁+b₂+…+b_n-1=1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{32}$+…+$\frac{1}{（n-1）•{2}^{n-2}}$-$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$=1-$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$，
b₁+b₂+…+b_n-1≤1-（k+1）b_n對一切正整數(shù)n恒成立，
即為k+1≤$\frac{1}{n•{2}^{n-1}•_{n}}$=$\frac{2（n+1）}{n+2}$，即有k≤$\frac{n}{n+2}$恒成立，
由$\frac{n}{n+2}$=1-$\frac{2}{n+2}$為遞增數(shù)列，即有n=1時取得最小值，且為$\frac{1}{3}$，
即有k≤$\frac{1}{3}$．則k的最大值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，考查累加法求數(shù)列的通項，以及裂項相消求和的方法，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．