Question

已知函數(shù)f（x）=|x|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）＞2；
（Ⅱ）若[f（x）]²+y²+z²=9，試求x+2y+2z的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把要解的不等式f（x-1）＞2等價轉(zhuǎn)化為與之等價不等式|x-1|＞2，再利用絕對值不等式的解法即得所求．
（II）利用題中條件：“x²+y²+z²=9”構(gòu)造柯西不等式：（x²+y²+z²）×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）²這個條件進(jìn)行計算即可．
解答：解：（Ⅰ）不等式f（x-1）＞2即|x-1|＞2．
解得 x＜-1，或 x＞3．
故原不等式的解集為 {x|x＜-1，或 x＞3}．
（II）[f（x）]²+y²+z²=9，即x²+y²+z²=9，
由于（x²+y²+z²）×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）²，
∴9×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）²，
∴-9≤x+2y+2z≤9．
則x+2y+2z的最小值為：-9．
點評：（I）本小題主要考查絕對值不等式的解法，（II）本小題考查用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是利用（x²+y²+z²）×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）²．