Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx+k

ex

（其中k∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）求證：曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)不過(guò)點(diǎn)（2，0）；
（Ⅱ）若在區(qū)間（0，1]中存在x₀，使得f′（x₀）=0，求k的取值范圍；
（Ⅲ）若f′（1）=0，試證明：對(duì)任意x＞0，f′（x）＜

e-2+1

x2+x

恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程，代入點(diǎn)（2，0）驗(yàn)證，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由f′（x₀）=0得k=

1-x0lnx0

x0

，確定其單調(diào)性，可求k的取值范圍；
（Ⅲ）令g（x）=（x²+x）f′（x），對(duì)任意x＞0，g（x）＜e^-2+1等價(jià)于1-x-xlnx＜

ex

x+1

（e^-2+1）．再構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：由f（x）=

lnx+k

ex

得f′（x）=

1-kx-xlnx

xex

，x∈（0，+∞），
所以曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率為f′（1）=

1-k

e

，
因?yàn)閒（1）=

k

e

，所以曲線(xiàn)y=f（x）切線(xiàn)方程為y-

k

e

=

1-k

e

（x-1），
假設(shè)切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2，0），代入上式得：為0-

k

e

=

1-k

e

（2-1），得到0=1產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，
故曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)不過(guò)點(diǎn)（2，0）…（4分）
（Ⅱ）解：由f′（x₀）=0得k=

1-x0lnx0

x0

因?yàn)?＜x₀≤1，所以k′＜0，所以k（x₀）在（0，1]上單調(diào)遞減，故k≥1…（7分）
（Ⅲ）證明：令g（x）=（x²+x）f′（x），當(dāng)x₀=1時(shí)，k=1，所以g（x）=

x+1

ex

（1-x-xlnx），x∈（0，+∞），
因此，對(duì)任意x＞0，g（x）＜e^-2+1等價(jià)于1-x-xlnx＜

ex

x+1

（e^-2+1）．…（9分）
由h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
所以h′（x）=-lnx-2，x∈（0，+∞），
因此，當(dāng)x∈（0，e^-2）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；x∈（e^-2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
所以h（x）的最大值為h（e^-2）=e^-2+1，故1-x-xlnx≤e^-2+1．…（12分）
設(shè)φ（x）=e^x-（x+1），
因?yàn)棣铡洌▁）=e^x-1，所以x∈（0，+∞）時(shí)φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，φ（x）＞φ（0）=0，
故x∈（0，+∞）時(shí)，φ（x）=e^x-（x+1）＞0，即

ex

x+1

＞1．
所以故1-x-xlnx≤e^-2+1＜

ex

x+1

（e^-2+1）．
因此，對(duì)任意x＞0，f′（x）＜

e-2+1

x2+x

恒成立    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)，確定單調(diào)性是關(guān)鍵．