Question

若拋物線y²=2px上恒有關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，則p的取值范圍是（　�。�

A．（- 2 3 ，0）

B．（0， 3 2 ）

C．（0， 2 3 ）

D．（-∞，0）∪（ 2 3 ，+∞）

Answer 1

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因?yàn)辄c(diǎn)A和B在拋物線上，所以有y12=2px1①
y22=2px2②
①-②得，y12-y22=2p(x1-x2)．
整理得

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

，
因?yàn)锳，B關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，所以k_AB=1，即

2p

y1+y2

=1．
所以y₁+y₂=2p．
設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則y0=

y1+y2

2

=

2p

2

=p．
又M在直線x+y-1=0上，所以x₀=1-y₀=1-p．
則M（1-p，p）．
因?yàn)镸在拋物線內(nèi)部，所以y02-2px0＜0．
即p²-2p（1-p）＜0，解得0＜p＜

2

3

．
所以p的取值范圍是（0，

2

3

）．
故選C．