Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點P是平面ABCD上的動點，點M在棱AB上，且AM=

1

3

，且動點P到直線A₁D₁的距離與點P到點M的距離的平方差為4，則動點P的軌跡是（　　）

• A、圓
• B、拋物線
• C、雙曲線
• D、直線

Answer 1

分析：作PQ⊥AD，作QR⊥D₁A₁，PR即為點P到直線A₁D₁的距離，由勾股定理得 PR²-PQ²=RQ²=4，又已知PR²-PM²=4，PM=PQ，即P到點M的距離等于P到AD的距離．

解答：解：如圖所示：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，作PQ⊥AD，Q為垂足，則PQ⊥面ADD₁A₁，過點Q作QR⊥D₁A₁，
則D₁A₁⊥面PQR，PR即為點P到直線A₁D₁的距離，由題意可得 PR²-PQ²=RQ²=4．
又已知 PR²-PM²=4，
∴PM=PQ，即P到點M的距離等于P到AD的距離，根據(jù)拋物線的定義可得，點P的軌跡是拋物線，
故選 B．

點評：本題考查拋物線的定義，求點的軌跡方程的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，得到PM=PQ是解題的關鍵．