Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-x+2．（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若對(duì)x＞0，有f′（x）≥x-

4

3

成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-x²-x+2，f′（x）=（x-1）（3x+1），分段討論f（x）單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）的極值；
（2）由已知可得3x²-2ax-1≥|x|-

4

3

對(duì)?x∈R成立，當(dāng)x＞0時(shí)，2a+1≤3x+

1

3x

，故可求得a≤

1

2

．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-x²-x+2，f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
令f′（x）=0，解得x₁=-

1

3

，x₂=1．
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，得x＞1或x＜-

1

3

；
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，得-

1

3

＜x＜1．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，- 1 3 ）	- 1 3	（- 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大	單調(diào)遞減	極小	單調(diào)遞增

∴當(dāng)x=-

1

3

時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值，f（x）_極大值=f（-

1

3

）=2

5

27

，
當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)f（x）有極小值，f（x）_極小值=f（1）=1
（2）∵f′（x）=3x²-2ax-1，∴對(duì)?x∈R，有f′（x）≥|x|-

4

3

成立，
即有3x²-2ax-1≥|x|-

4

3

對(duì)?x∈R成立，
當(dāng)x＞0時(shí)，有3x²-（2a+1）x+

1

3

≥0，
即2a+1≤3x+

1

3x

，對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，
∵3x+

1

3x

≥2

3x× 1 3x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

3

時(shí)等號(hào)成立，
∴2a+1≤2
故a≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．