已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸左右端點(diǎn)M，N與短軸上端點(diǎn)Q構(gòu)成的三角形的面積為2
3
，離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓的方程．
（Ⅱ）若過橢圓C右焦點(diǎn)F2作垂直于線段MQ的直線L，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求四邊形AMBQ面積S．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）利用橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸左右端點(diǎn)M，N與短軸上端點(diǎn)Q構(gòu)成的三角形的面積為2
3
，離心率e=
1
2
，建立方程，求出a，b，即可求橢圓的方程．
（Ⅱ）求出直線L的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出|AB|，再計算四邊形AMBQ面積S．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸左右端點(diǎn)M，N與短軸上端點(diǎn)Q構(gòu)成的三角形的面積為2
3
，離心率e=
1
2
，
∴
ab=2
3
c
a
=
1
2
------------（2分）
∴a=2，b=
3
------------（4分）
∴橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1------------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），M（-2，0），Q（0，
3
）------------（6分）
∴直線MQ斜率為
3
2
，
又∵L⊥MQ，∴直線L斜率k=-
2
3
------------（7分）
直線L：y=-
2
3
（x-1）------------（8分）
代入橢圓方程得25x2-32x-20=0------------（9分）
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
由韋達(dá)定理x1+x2=
32
25
，x1x2=-
20
25
------------（10分）
∴|AB|=
1+
4
3
•
(
32
25
)2+
80
25
=
84
25
------------（11分）
∴四邊形AMBQ面積S=
|AB||MQ|
2
=
42
7
25
．------------（12分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)
1
1+i
+i5對應(yīng)的點(diǎn)位于（　　）
A、第四象限B、第三象限
C、第二象限D、第一象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=（1，2），
b
=（2，1），若向量λ
a
+
b
與向量
c
=（-3，3）垂直，則λ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

命題p：?x∈R，cos2x+sinx≥2m2-m-7；命題q：mx2+2x-1＞o的解集非空．若“p且q”是假命題，┐p也是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍：
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax2-x+2．（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若對x＞0，有f′（x）≥x-
4
3
成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
2
x+ln
e
2
，g（x）=
3x
2
-
2
x
-f（x）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=x2-mx+4，若存在x1∈（0，1]，對任意的x2∈[1，2]，總有g(shù)（x1）≥h（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)和第一個最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x0，2）和（x0+2π，-2）．

（Ⅰ）求f（x）的解析式及x0的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，π]上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）=
8
5
，x∈（0，
π
3
），求cosx的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某校為了對學(xué)生的語文、英語的綜合閱讀能力進(jìn)行分析，在全體學(xué)生中隨機(jī)抽出5位學(xué)生的成績作為樣本，這5位學(xué)生的語文、英語的閱讀能力等級得分（6分制）如下表：
x（語文閱讀能力）23456
y（英語閱讀能力）1.534.556
（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程
?
y
=bx+a．
（2）試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測語文閱讀能力為3.5的學(xué)生的英語閱讀能力等級．
（注：
∧
b
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
xi2-n
.
x
2
， 
?
a
=
.
y
-
?
b
 
.
x
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
lg|x|
x2
的大致圖象為（　�。�
A、
B、
C、
D、

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