橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在x軸上，以橢圓的短軸的一個端點B與兩個焦點F1、F2為頂點的三角形的周長是8+4
3
，且∠BF1F2=
π
6
．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=x+1與橢圓交于點M、N，求線段|MN|的長．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓的定義和幾何性質(zhì)，求出a、b、c的值即可；
（2）由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式，求出線段|MN|的值．
解答： 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦距為2c，
∵△BF1F2的周長是8+4
3
，
∴2a+2c=8+4
3
，
∴a+c=4+2
3
；
又∵∠BF1F2=
π
6
，
∴
c
a
=
3
2
，
解得
a=4
c=2
3
，
∴b=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
4
=1；（5分）
（2）由直線方程與橢圓方程聯(lián)立
y=x+1
x2
16
+
y2
4
=1
，
消去x并整理得，5x2+8x-12=0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
則x1+x2=-
8
5
，x1x2=-
12
5
，
線段|MN|=
1+k2
|x1-x2|=
2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
38
5
．（10分）
點評：本題考查了直線與橢圓的應(yīng)用問題，考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及求直線與橢圓相交所得的弦長的問題，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為
1
2
，長軸長為8的橢圓方程為（　�。�
A、
y2
16
+
x2
12
=1
B、
x2
16
+
y2
12
=1
C、
y2
16
+
x2
12
=1或
x2
16
+
y2
12
=1
D、不存在

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知2x+y=1，x＞0，y＞0，則
x+2y
xy
的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

四面體ABCD是正四面體，已知棱長為1，則二面角A-CD-B的余弦值為（　�。�
A、
1
2
B、
1
3
C、
3
6
D、
2
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f（n）為n2+1（n∈N*）的各位數(shù)字之和，如：62+1=37，則f（6）=3+7=10．記f1（m）=f（m），f2（n）=f（f1（n）），…fk+1（n）=f（fk（n）），k∈N*，則f2015（4）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C：3x2+4y2=12，試確定m的取值范圍，使得對于直線y=4x+m，曲線C上總有不同兩點關(guān)于該直線對稱．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）短軸長為2，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，c為半焦距．若以F2為圓心，b-c為半徑作圓F2，P為橢圓上的動點，過P作此圓的切線l，切點為T．
（1）當(dāng)l經(jīng)過原點時，l的斜率為-
3
3
，求橢圓的方程． 
（2）若|PT|的最小值不小于
3
2
（a-c），圓F2與x軸的右焦點為C，過點C作斜率為k（k＞0）的直線m與橢圓交于A，B兩點．與圓F2交于另一點D兩點，若O在以AB為直徑的圓上，求|CD|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，則通項an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一根木棒長5米，從任意位置砍斷，則截得兩根木棒都大于2米的概率為（　�。�
A、
1
5
B、
2
5
C、
3
5
D、
4
5

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同步練習(xí)冊答案