Question

函數(shù)f（x）對(duì)x＞0有意義，當(dāng)m，n∈（0，+∞）時(shí)，恒有f（mn）=f（m）+f（n）成立，并且f（2）=1，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）求證：f（1）=0；
（2）求f（4）的值；
（3）求證：f（x）在（0，+∞） 上為增函數(shù)；
（4）求滿足f（x）+f（

x-3

x

）＜2的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）令m=n=1，運(yùn)用條件，即可得證；
（2）令m=n=2，由條件即可得到；
（3）令0＜s＜t，則

t

s

＞1，由x＞1時(shí)，f（x）＞0，則f（

t

s

）＞0，即有f（t）=f（s•

t

s

），運(yùn)用條件即可得證；
（4）運(yùn)用條件不等式即為f（x-3）＜f（4），由f（x）在（0，+∞） 上為增函數(shù)，即可得到不等式組，解出即可．

解答： （1）證明：令m=n=1，則f（1）=2f（1），即有f（1）=0；
（2）解：令m=n=2，則f（4）=2f（2），而f（2）=1，則f（4）=2；
（3）證明：令0＜s＜t，則

t

s

＞1，由x＞1時(shí)，f（x）＞0，
則f（

t

s

）＞0，即有f（t）=f（s•

t

s

）=f（s）+f（

t

s

）＞f（s），
則f（x）在（0，+∞） 上為增函數(shù)；
（4）解：f（x）+f（

x-3

x

）＜2
即為f（x•

x-3

x

）＜2=f（4），
即為f（x-3）＜f（4），
由f（x）在（0，+∞） 上為增函數(shù)，
則

x＞0 x-3＞0 x-3＜4

，解得，3＜x＜7．
則解集為（3，7）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)值的常用方法：賦值法，考查函數(shù)的單調(diào)性的證明以及運(yùn)用：解不等式，屬于中檔題．