Question

6．已知函數(shù)y=${2}^{{x}^{2}-6x+7}$．
（1）求函數(shù)的定義域、值域；
（2）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的定義域和值域，即可得到所求函數(shù)的定義域和值域；
（2）令t=x²-6x+7，則y=2^t，運用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，即可得到所求單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)y=${2}^{{x}^{2}-6x+7}$的定義域為R，
由x²-6x+7=（x-3）²-2≥-2，
即有${2}^{{x}^{2}-6x+7}$≥2^-2=$\frac{1}{4}$，
即有函數(shù)的值域為[$\frac{1}{4}$，+∞）；
（2）令t=x²-6x+7，
則y=2^t，
由y=2^t為遞增函數(shù)，
函數(shù)t=x²-6x+7在（-∞，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
則函數(shù)y的增區(qū)間為（3，+∞），減區(qū)間為（-∞，3）．

點評 本題考查函數(shù)的定義域和值域的求法，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷：同增異減，屬于中檔題．