Question

如圖，矩形的邊|AB|=2，以AB為長軸作橢圓M，使得橢圓M的短軸長等于

2

|AD|．
（1）若|AD|=

2

2

，建立適當?shù)淖鴺讼担�求橢圓M的方程；
（2）若|AD|=

2

，在橢圓M上任取一點P（異于A，B兩點），連接PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點，求|AE|²+|BF|²的值．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）以AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，則b=

1

2

，a=1，即可求橢圓M的方程；
（2）求出F，E的坐，即可求|AE|²+|BF|²的值．

解答： 解：（1）以AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，則b=

1

2

，a=1，
∴橢圓M的方程為x2+

y2

1 4

=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），AD=m，則D（-1，m），C（1，m），則直線PD的方程為y-m=

y0-m

x0+1

（x+1），
直線PC的方程為y-m=

y0-m

x0-1

（x-1），
由于F，E在直線PD，PC上，且與x軸相交，
∴E（

y0-mx0

y0-m

，0），F(xiàn)（

-y0-mx0

y0-m

，0）．
∵A（-1，0），B（1，0），
∴|AE|²+|BF|²=

(2y0-mx0-m)2+(-2y0-mx0+m)2

(y0-m)2

，
∵b=

2

2

m，代入橢圓方程可得x02=1-

2y02

m2

，
∴|AE|²+|BF|²=4．

點評：本題考查求|AE|²+|BF|²的值，考查橢圓的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力．